而对于集合的应用，高中数学也只涉及到零零散散的一部分，比如函数的定义，提到了非空数集A、B；再比如几何中，我们把直线看成点集，用交集来表示两个直线的交点。

在这些例子中，集合仅仅是作为一种工具，但我们不能因为这些原因，就忽略集合在数学中的地位。

公元前五世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。

学派中的一个成员希巴斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

希巴斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的出现，这个发现和常识产生了巨大冲突，这是第一次数学危机，导致了数系的扩充：从有理数到实数。

十七世纪，微积分被牛顿、莱布尼兹几乎同时发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。

直到柯西把“无穷小量”视为“以0为极限的变量”，“无穷小量”是一个“变量”，它在变化的过程中，它的值虽然不直接等于零，但它变化的趋向却在无限地接近于零，所以人们有时把“无穷小量”直接“等于0”来处理，也不会产生错误的结果。这是第二次数学危机。

而第三次数学危机就和集合论有密切的关系。

集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。他对集合所下的定义是把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物成为该集合的元素。

到20世纪初，集合论已得到数学家们的认可，他们乐观地认为，从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学大厦。但罗素悖论的提出指出了集合论的漏洞。

罗素悖论的通俗形式即“理发师悖论”：一天，一个村子里唯一的理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。

但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。

类似的悖论还有：有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声说上帝是无所不能的，什么事都做得到。一位过路人问了一句话：“上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗？”

假设上帝是万能的，那么上帝能造出一块他自己都举不起来的石头，否则上帝就不是万能的；但是上帝又举不起这块石头，因此上帝不是万能的。公元前四世纪的希腊数学家欧几里德提出的这样一个悖论：“我正在说的这句话是谎话”，至今还在困扰着数学家和逻辑学家。这就是著名的说慌者悖论。

直到后来，ZF公理系统的提出，才能一定程度上解决这类问题。通过定义，限制新集合形成的可能，从而消除罗素悖论中的集合(存在集合A满足A不包含于自己)。

罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。

如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。

直到今天，集合论，成为了数学的一个基本的分支学科，研究对象是一般集合。集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。

在大多数现代数学的公式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件。

从数学史来看，每一次数学危机都是由于数学体系内部产生了悖论，为了解决这些悖论，数学家们建立了新的数学理论体系。

不止数学，在整个人类的发展历程中，在对自然科学的无尽征途中，问题一次次出现，一次次被解决。正如我们的学习历程，千回百转，一个个难题在等着我们去解决，而我们必须坚信，这些问题一定会被我们解决，成为我们身后的璀璨繁星，照亮来时的路。